2. Возникновение и развитие античных научных программ
(Пифагор, Демокрит, Платон, Аристотель).
В Древней Греции впервые возникли предпосылки становления такой науки,
как математика. Несмотря на то, что математика возникла на Древнем Востоке,
по-видимому, задолго до греков, особенностью древнеегипетской и вавилонской
математики было отсутствие в ней (за исключением отдельных элементов) единой
системы доказательств, которая впервые появляется именно у греков.
Древневосточная математика представляет собой совокупность определенных правил
вычисления, и способность к сложным вычислениям не меняет в общий характер их
математики. Такая особенность древневосточной математики объясняется тем, что
она носила практически-прикладной характер, и даже используемые при расчетах
формулы являлись приблизительными. Также в древневосточной математике не было
разделения на арифметику и геометрию: писцы, отвечавшие за математические
вычисления, должны были знать полный список «коэффициентов»: для "кирпичей",
для "стен", затем для "треугольника", для "сегмента
круга", далее для "меди", "серебра",
"золота", для "грузового судна", "ячменя", для
"диагонали", "резки тростника" и т.д.
В Греции мы наблюдаем появление того, что можно назвать теоретической
системой математики: греки впервые стали строго выводить одни математические
положения из других, т.е. ввели в математику доказательство. Доказательство,
система доказательств играют в нашей науке особую роль. Ведь большинство
высказываний математики относится к бесконечному множеству объектов. Так, положение
о том, что сумма углов треугольника равна 2d, не может быть установлено никаким
конечным числом проверок: во-первых, потому, что треугольников бесконечно много
и, во-вторых, каждое практическое измерение производится только с некоторой
определенной степенью точности. Без доказательства никогда не могла бы быть
открыта несоизмеримость величин, а без этого не существовало бы важнейших
разделов современной математики. Можно сказать, что математика как наука стала
существовать только после систематического введения в нее доказательств. В Греции
имела место как практически-прикладная математика (искусство счисления),
сходная с египетской и вавилонской, так и теоретическая математика,
предполагавшая систематическую связь математических высказываний, строгий
переход от одного предложения к другому с помощью доказательства. Именно
математика как систематическая теория была впервые создана в Греции.
Особенно важную роль в формировании древнегреческой математики сыграла пифагорейская школа. Пифагореизм имел
свою длительную историю - от основателя школы, полулегендарного Пифагора,
младшего современника Фалеса Милетского (VI в. до н.э.), до неопифагореизма
эпохи эллинизма (I в. до н.э.-III в. н.э.). Пифагорейцы занимались не одной
лишь математикой, к которой в античности относили, кроме арифметики, геометрии
и стереометрии, также астрономию, акустику, гармонику (теорию музыки). Среди
них были также врачи, как Алкмеон из Кротоны, ботаники, как Менестор из
Сибариса, эмпирики-естествоиспытатели, как Гиппон из Самоса; ранние
пифагорейцы, в том числе сам Пифагор, Филолай и многие другие, занимались
космологией. Ранние пифагорейцы воспринимали число как начало устроения - и
соответственно познания мира, а в исследовании числовых отношений видели такое
же средство спасения души, как и в религиозных ритуалах, - именно это
обстоятельство сыграло важную роль в превращении математики в науку, научную
систему, какой она не была раньше. Пифагорейцы первыми возвысили математику до
ранее неведомого ей ранга: числа и числовые отношения они стали рассматривать
как ключ к пониманию вселенной и ее структуры. Они впервые пришли к убеждению,
что "книга природы написана на языке математики", как спустя почти
два тысячелетия выразил эту мысль Галилей.
Космология ранних пифагорейцев также включает себя мысль о противоположности предела и
беспредельного. Эту мысль иллюстрирует высказывание о Пифагоре
Аристотеля, где дается перечень десяти пар противоположностей:
предел - беспредельное,покоящееся - движущееся,нечет - чет,прямое -
кривое,единое - множество,свет - тьма,правое - левое,хорошее - дурное,мужское -
женское,квадрат - параллелограмм.
Из этих противоположностей строится все существующее, и само число
рассматривается тоже как состоящее из противоположностей - чета и нечета.
Делая, первые - и решающие - шаги в создании математики как
теоретической системы, отделяя четные числа от нечетных, простые – от
составных, ранние пифагорейцы в то же время рассматривали открываемые ими
отношения чисел как символы некоторой божественной реальности.
Числовые пропорции, или
соразмерности, пифагорейцы называли также гармониями. Еще Пифагор, как утверждают многие
свидетельства, открыл связь числовых соотношений с музыкальной гармонией. Он
обнаружил, что при определенных соотношениях длин струн последние издают
приятный (гармонический) звук, а при других - неприятный (диссонанс). Это
открытие сыграло большую роль для дальнейшего развития науки о числе, поскольку
утверждение "все есть число" получило свой смысл благодаря тому, что
числовые отношения обнаруживались в самых разных процессах. Гармония стала у
пифагорейцев математическим понятием, и, что важно, пифагорейская математика и
философия оказались проникнуты понятием гармонии. Это во многом объясняет
специфические особенности античного мышления. В астрономии, музыке, геометрии и
арифметике пифагорейцы увидели общие числовые пропорции, гармонические
соотношения, познание которых, согласно им, и есть познание сущности и
устройства мироздания.
Трудно установить, кем и когда была открыта несоизмеримость, но это
открытие сыграло важную роль в становлении математики как теоретической науки,
ибо вызвало целый переворот в математическом мышлении и заставило пересмотреть
многие из представлений, которые вначале казались само собой разумеющимися. Несоизмеримость
диагонали квадрата со стороной, т.е. иррациональность,
пифагорейцы доказывали, опираясь на главную, с их точки зрения,
"онтологическую" характеристику чисел, а именно на деление их на
четные и нечетные. Открытие иррациональности, т.е. отношений, не выражаемых
целыми числами, вызвало первый кризис оснований математики и нанесло удар по
философии пифагорейцев. Ибо целое число лежало в основе мироздания, поэтому все
пропорции в мире должны были быть выразимы в целых числах. Последствием открытия
иррациональности было усиление тенденции к геометризации математики; появилось
стремление геометрически выразить отношения, которые, как оказалось, невыразимы
с помощью арифметического числа. Открытие несоизмеримости стало первым толчком
к осознанию оснований математического исследования, к попытке не только найти
новые методы работы с величинами, но и понять, что такое величина.
Эти пифагорейские представления о математическом фундаменте научного
знания получили в IV в. до н.э. теоретическое обоснование и весьма четкое
выражение в сочинениях Платона. У
Платона же мы находим изложение пифагорейского учения о числовых пропорциях
геометрических величин, а также систематизацию различных областей
математического знания, соединение их в единую систему наук.
Решение проблемы движения, поставленной Зеноном, предложил Демокрит.
Демокрит попытался решить вопрос о возможности движения, вводя иную, чем
у элеатов, предпосылку: не только бытие, но и небытие существует. При этом он
мыслил бытие как атомы, а небытие как пустоту. Демокрит, уточняя пифагорейское
понятие единицы, приходит к выводу, что "единицу" надо мыслить как
физическое тело очень малых, но конечных размеров. В этом случае любой отрезок
линии, так же как и любое тело трех измерений, может состоять из очень
большого, но всегда конечного числа неделимых физических "монад".
Имеется, однако, важное свидетельство Аристотеля относительно теоретических источников возникновения
атомизма. Аристотель связывает появление с критикой учения элеатов; чтобы
возможно было мыслить движение, возникновение и уничтожение вещей, Демокрит
допустил существование неделимых частиц - атомов - и пустоты, в которой
движутся атомы и без которой они немыслимы. Атомизм, таким образом, возникает
отнюдь не в результате эмпирических наблюдений (например, движения мельчайших
пылинок в солнечном луче), а в результате развития определенных теоретических
понятий. Эмпирические наблюдения привлекаются уже потом, в целях демонстрации,
и играют роль наглядных моделей атомистической теории.
В этом смысле учение атомистов - это дальнейший шаг на пути освобождения
философского и научного мышления от мифологических представлений; раннее
пифагорейство, пытаясь все сущее объяснить с помощью чисел, в гораздо большей
степени привлекало на помощь числам мифологические образы, чем это делали
элеаты, а тем более атомисты.
Демокрит также написал ряд работ по математике, в которых он стремился
построить такую математику, в которой не было бы бесконечности. Согласно
атомистической методологии, Демокрит, видимо, полагал, что тела состоят из
большого, но конечного числа атомов.
Ярко выраженный физический характер атомистической теории хорошо понимал
Аристотель. Он отличал атомы
Демокрита от неделимых монад Платона и платоников, подчеркивая, что атомисты
рассуждают как физики, а платоники - как логики. Аристотель, в отличие от
Платона, убежденного, что истинное знание может быть лишь знанием идей, считает
возможной также и физику - науку об эмпирическом мире, о природе.
Несмотря на то, что атомистическое учение, как оно сложилось в V в. до
н.э., не могло дать удовлетворительного объяснения движения, значение его для
науки трудно переоценить. Это была первая в истории мысли теоретическая
программа, последовательно и продуманно выдвигавшая методологический принцип, требовавший
объяснить целое как сумму отдельных составляющих его частей - индивидуумов.